Théorème de Pythagore

L’histoire de Pythagore

Il est difficile de retracer exactement le début des connaissances des mathématiques de la période classique (-600 à -300) car nous ne disposons pas de manuscrits originaux. 

Cependant, les Grecs ont toujours affirmé avoir trouvé en Égypte et en Mésopotamie les matériaux de base pour leur astronomie et leur géométrie. Les premiers mathématiciens grecs seraient donc issus d’Asie Mineure. 

Pythagore, originaire de Samos (île grecque), s’est installé dans le Sud de l’Italie après avoir voyagé en Égypte et en Mésopotamie. Là-bas, il fonda une secte mystérieuse et une école où les connaissances détenues par les adeptes restèrent secrètes. Plus tard, tous les travaux collectifs de cette école furent attribués à son créateur, Pythagore. 

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne. C’est un théorème conçu à partir d’une somme de connaissance géométrique de l’époque et d’une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Euclide étant également un mathématicien de la Grèce antique. 

Explication du théorème de Pythagore et sa formule pour le triangle rectangle  

Le théorème de Pythagore est utilisé pour calculer les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Un triangle rectangle présente un angle droit (formé par deux droites perpendiculaires engendrant un angle de 90°). 

Ce théorème énonce :

« Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. » Pythagore

L’hypoténuse étant le côté opposé à l’angle droit.

Voici une interprétation géométrique afin de visualiser de manière plus concrète l’énoncé de ce théorème :

• Le triangle ABC est rectangle en A. 
• L’aire du carré (CBHI) est égale à la somme des aires du carré (ABED) et du carré (ACFG). 
• On obtient donc : CB² = CA² + AB²

Ainsi, la formule mathématique est la suivante : a² + b² = c²

Conseil pour trouver la racine carrée 

Pour trouver le carré d’un chiffre ou d’un nombre, il suffit de multiplier ce nombre par lui-même. (Exemple le carré de 3 est : 3×3 = 9). 

Pour obtenir la racine carrée d’un nombre, il faut trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne ce carré. (Exemple la racine carrée de 16 est 4 car 4×4 = 16 ; on note  = 4). 

La plupart du temps, la racine carrée d’un nombre se calculera grâce à une calculatrice. Par exemple, avec la calculatrice, on trouve √10= 3,16227…

En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler de la manière suivante : 

Si un triangle ABC est rectangle en C, alors AB² = AC² + BC²

La réciproque et la contraposée du théorème

La réciproque du théorème de Pythagore est une propriété affirmant que :

 » si le carré du plus grand côté du triangle (« AB » pour l’image ci-dessus) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. »

De plus, si les longueurs des côtés adjacents à l’angle droit sont de même longueur (si « a » et « b » sont égaux dans l’exemple ci-dessus), alors on parlera d’un triangle rectangle isocèle.

Par contraposée, si le carré du plus grand côté du triangle est différent de la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle. 

Ce triangle non rectangle pourra être de plusieurs types. Soit un triangle quelconque, soit un triangle isocèle (deux côtés égaux), ou soit un triangle équilatéral (trois côtés égaux et trois angles égaux). 

Un exemple concret du théorème de Pythagore

Regardons ensemble l’exemple ci-dessous :

Ce triangle ABC est-il bien rectangle en B ?  

• Utilisons la formule vue précédemment : a² + b² = c²
• 8² + 6² = 64 + 36 = 100
• 10² = 100
• Ainsi, a² + b² = c²

Le triangle est donc rectangle en B. 

Cas particulier de la médiane dans un triangle rectangle 

Dans un triangle, la médiane est une droite joignant un des trois sommets au milieu du côté opposé. La médiane coupe ainsi le triangle en deux parties possédant la même aire. 

Pour le triangle rectangle, la longueur de la médiane de l’hypoténuse correspond à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. Il suffit de prendre la longueur de l’hypoténuse (calculer sa longueur si besoin) et de diviser par deux cette longueur. On obtiendra ainsi la longueur exacte de la médiane. 

Dans ce triangle ABC rectangle en C, la médiane [CD] de l’hypoténuse [AB] est égale à  AB/2, soit égale au segment [AD] ou au segment [DB]. Le point d’intersection D divise donc le segment [AB] en deux parties égales.

Sinus, Cosinus et Tangente dans un triangle rectangle

Lorsqu’un triangle est rectangle, on peut calculer plus facilement le sinus, le cosinus et la tangente de ce triangle. 

• ABC est un triangle rectangle A. 
• L’hypoténuse de ce triangle est [BC], côté le plus grand du triangle. 
• On dit que le côté [BA] est adjacent à l’angle B et que le côté [AC] est opposé à l’angle B. 

Trois formules importantes :

A noter : Le sinus et le cosinus sont des nombres sans unité. Ils sont inférieurs à 1 car l’hypoténuse est le côté le plus grand du triangle rectangle. La tangente est aussi un nombre sans unité. Cependant, elle peut être plus grand ou plus petit que 1. Cela dépend des longueurs du côté adjacent et du côté opposé. 

Mnémotechnique pour retenir ces trois formules :

Utilisez l’acronyme SOH – CAH – TOA

Sinus : Opposé / Hypoténuse

Cosinus : Adjacent / Hypoténuse

Tangente : Opposé / Adjacent    

Théorème de Pythagore : l’essentiel à retenir

• Un triangle ABC est rectangle en C si et seulement si AB² = AC² + BC²
• Peu importe la lettre qui nomme l’angle rectangle du triangle. Il faut toujours calculer au carré les deux côtés adjacents à cet angle.
• Sans notation des sommets du triangle (cf image n°1), le terme « hypoténuse » n’est utilisable qu’une fois acquis que le triangle est rectangle.
• Le théorème de Pythagore permet de calculer tous les triangles rectangles.  
• Pour trouver rapidement la médiane d’un triangle rectangle, il suffit de diviser par deux la longueur du côté le plus grand du triangle, soit l’hypoténuse.  

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